Наука

Учимся доказывать теорему

Не только каждый школьник, но и каждый уважающий себя образованный человек должен знать, что такое теорема и доказательство теорем. Может, такие понятия и не встретятся в реальной жизни, но структурировать многие знания, а также делать умозаключения они точно помогут. Именно поэтому мы и рассмотрим в этой статье способы доказательства теорем, а также ознакомимся со столь знаменитой теоремой Пифагора.

Что же такое теорема

Если рассматривать школьный курс математики, то очень часто в нем встречаются такие научные термины, как теорема, аксиома, определение и доказательство. Для того чтобы ориентироваться в программе, нужно ознакомиться с каждым из этих определений. Сейчас же мы рассмотрим, что такое теорема и доказательство теорем.

что такое теорема и доказательство теорем

Итак, теорема – это некое утверждение, которое требует доказательства. Рассматривать данное понятие нужно параллельно с аксиомой, так как последняя доказательства не требует. Ее определение уже является истинным, поэтому воспринимается как должное.

Сфера применения теорем


Ошибочно думать, что теоремы применяются только в математике. На самом деле это далеко не так. Например, существует просто невероятное количество теорем в физике, позволяющих подробно и со всех сторон рассмотреть некоторые явления и понятия. Сюда можно отнести теоремы Ампера, Штейнера и многие другие. Доказательства таких теорем позволяют неплохо разобраться в моментах инерции, статике, динамике, и во многих других понятиях физики.

Использование теорем в математике

Тяжело представить себе такую науку, как математика, без теорем и доказательств. Например, доказательства теорем треугольника позволяют подробно изучить все свойства фигуры. Ведь очень важно разобраться в признаках подобия, свойствах равнобедренного треугольника и во многих других вещах.

доказательство теоремы пифагора

Доказательство теоремы площади позволяет понять, как проще всего вычислять площадь фигуры, опираясь на некоторые данные. Ведь, как известно, существует большое количество формул, описывающих, как можно найти площадь треугольника. Но перед тем как их использовать, очень важно доказать, что это возможно и рационально в конкретном случае.

Как доказывать теоремы


Каждый школьник должен знать, что такое теорема, и доказательство теорем. На самом деле доказать какое-либо утверждение не так-то просто. Для этого нужно оперировать многими данными и уметь делать логические выводы. Конечно, если вы неплохо владеете информацией по определенной научной дисциплине, то доказать теорему для вас не составит особого труда. Главное — выполнять процедуру доказательства в определенной логической последовательности.

Для того чтобы научиться доказывать теоремы по таким научным дисциплинам, как геометрия и алгебра, нужно иметь неплохой багаж знаний, а также знать сам алгоритм доказательства. Если вы освоите такую процедуру, то решать математические задачи впоследствии для вас не составит особого труда.

Что нужно знать о доказательстве теорем

Что такое теорема и доказательства теорем? Это вопрос, который волнует многих людей в современном обществе. Очень важно научиться доказывать математические теоремы, это поможет вам в будущем строить логические цепочки и приходить к определенному выводу.

доказательство теорем треугольника

Итак, для того чтобы доказывать теорему правильно, очень важно сделать правильный рисунок. На нем отобразите все данные, которые были указаны в условии. Также очень важно записать всю информацию, которая предоставлялась в задаче. Это поможет вам правильно проанализировать задание и понять, какие именно величины в нем даны. И только после проведения таких процедур можно приступать к самому доказательству. Для этого вам нужно логически выстроить цепочку мыслей, используя другие теоремы, аксиомы или определения. Итогом доказательства должен быть результат, истинность которого не подлежит сомнению.

Основные способы доказательства теорем


В школьном курсе математики существует два способа, как доказать теорему. Чаще всего в задачах используют прямой метод, а также метод доказательства от противного. В первом случае просто анализируют имеющиеся данные и, опираясь на них, делают соответственные выводы. Также очень часто используется и метод от противного. В этом случае мы предполагаем противоположное утверждение и доказываем, что оно неверно. На основе этого мы получаем противоположный результат и говорим о том, что наше суждение было неверным, а значит, указанная в условии информация является правильной.

способы доказательства теорем

На самом деле многие математические задачи могут иметь несколько способов решения. Например, теорема Ферма доказательств имеет несколько. Конечно, некоторые рассматриваются только одним способом, но, например, в теореме Пифагора можно рассмотреть сразу несколько из них.

Что представляет собой теорема Пифагора

Конечно, каждый школьник знает о том, что теорема Пифагора касается именно прямоугольного треугольника. И звучит она так: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Несмотря на название данной теоремы, открыта она была не самим Пифагором, а еще задолго до него. Существует несколько способов доказательства данного утверждения, и мы рассмотрим некоторые из них.


Согласно научным данным, в самом начале рассматривался равносторонний прямоугольный треугольник. Затем строились квадраты на всех его сторонах. Квадрат, построенный на гипотенузе, будет состоять из четырех равных между собой треугольников. В то время как фигуры, построенные на катетах, будут состоять только из двух таких же треугольников. Такое доказательство теоремы Пифагора является самым простым.

Рассмотрим еще одно доказательство данной теоремы. В нем нужно использовать знания не только из геометрии, но также и из алгебры. Для того чтобы доказать данную теорему этим способом, нам нужно построить четыре аналогичных прямоугольных треугольника, и подписать их стороны как а, в и с.

доказательство теоремы перпендикуляр

Построить эти треугольники нужно таким образом, чтобы в результате у нас получилось два квадрата. Внешний из них будет иметь стороны (а+в), а вот внутренний – с. Для того чтобы найти площадь внутреннего квадрата, нам нужно найти произведение с*с. А вот для того чтобы найти площадь большого квадрата, нужно сложить площади маленьких квадратов и добавить площади полученных прямоугольных треугольников. Теперь, произведя некоторые алгебраические операции, можно получить такую формулу:


а222

На самом деле существует огромное количество методов доказательства теорем. Перпендикуляр, треугольник, квадрат или любые другие фигуры и их свойства можно рассмотреть с помощью применения различных теорем и доказательств. Теорема Пифагора только является тому подтверждением.

Вместо заключения

Очень важно уметь формулировать теоремы, а также правильно их доказывать. Конечно, такая процедура является достаточно сложной, так как для ее осуществления необходимо не только уметь оперировать большим количеством информации, но также и выстраивать логические цепочки. Математика – это очень интересная наука, которая не имеет ни конца, ни края.

доказательство теоремы площади

Начните ее изучать, и вы не только повысите уровень своего интеллекта, но и получите огромное количество интересной информации. Займитесь своим образованием уже сегодня. Поняв основные принципы доказательств теорем, вы сможете проводить свое время с большой пользой.

Теорема Виета

Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни квадратных уравнений без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.


Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.

Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.

Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.

Доказательство теоремы

Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся через дискриминант, а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.

Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.

Вторая формулировка и доказательство


Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.

Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x — x1)(x — x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x — x1)(x — x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.


Похожие посты

Остается только молиться: Папа Римский обеспокоен аномальной жарой на Земле

Avtor

Белый дом и Лос-Анджелес уходят под землю: в США участились случаи образования громадных воронок

Avtor

Секретный туннель нацистов обнаружен у Мемориала Холокоста в Берлине

Avtor
Adblock detector