Наука

Как найти гипотенузу: 4 способа поиска ответа :: SYL.ru

«А нам говорят, что катет короче гипотенузы…» Эти строки из известной песни, которая звучала в художественном фильме «Приключения электроника» действительно верны по геометрии Евклида. Ведь катеты – это две стороны, образующие угол, градусная мера которого равно 90 градусам. А гипотенуза – самая длинная «натянутая» сторона, которая соединяет два перпендикулярных друг другу катета, и лежит противоположно прямому углу. Именно поэтому найти гипотенузу по катетам можно только в прямоугольном треугольнике, и если бы катет был длиннее гипотенузы, то такой треугольник бы не существовал.

Как найти гипотенузу по теореме Пифагора, если известны оба катета

Теорема гласит, что квадрат гипотенузы — это есть ни что иное, как сумма квадратов катетов: x^2+y^2=z^2, где:

  • х – первый катет;
  • y – второй катет;
  • z – гипотенуза.

Но необходимо найти просто гипотенузу, а не её квадрат. Для этого извлеките корень.

Алгоритм нахождения гипотенузы по двум известным катетам:

  • Обозначьте для себя, где катеты, а где гипотенуза.
  • Возведите первый катет в квадрат.
  • Возведите второй катет в квадрат.
  • Сложите полученные величины.
  • Извлеките корень из числа, полученного в пункте 4.

Теорема пифагора

Как найти гипотенузу через синус, если известен катет и острый угол, лежащий против него

Отношение известного катета к острому углу, лежащему против него, равно величине гипотенузы: a/sin A = c. Это следствие из определения синуса:

Отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin А = а/с, где:

  • a – первый катет;
  • A – острый угол, противоположный катету;
  • c- гипотенуза.

Алгоритм нахождения гипотенузы по теореме синусов:

  • Обозначьте для себя известный катет и противоположный ему угол.
  • Разделите катет на противоположный угол.
  • Получите гипотенузу.

Синус

Как найти гипотенузу через косинус, если известен катет и острый угол, прилежащий ему

Отношение известного катета к острому прилежащему углу равно величине гипотенузы a/cos B = c. Это следствие из определения косинуса: отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos B= a/с, где:

  • a – второй катет;
  • B – острый угол, прилежащий второму катету;
  • с- гипотенуза.

Алгоритм нахождения гипотенузы по теореме косинусов:

  • Обозначьте для себя известный катет и прилежащий ему угол.
  • Разделите катет на прилежащий угол.
  • Получите гипотенузу.

Как найти гипотенузу с помощью «египетского треугольника»

«Египетский треугольник» – это тройка чисел, зная которые вы сможете сэкономить время для нахождения гипотенузы или даже другого неизвестного катета. Треугольник имеет такое название, так как в Египте некоторые числа символизировали Богов и являлись основой при строении пирамид и других различных сооружений.

  • Первая тройка чисел: 3-4-5. Катеты здесь равны 3 и 4. Тогда гипотенуза обязательно будет равняться 5. Проверка: (9+16=25).
  • Вторая тройка чисел: 5-12-13. Здесь также катеты равняются 5 и 12. Следовательно, гипотенуза будет равняться 13. Проверка: (25+144=169).

Такие числа помогают даже тогда, когда они разделены или умножены на какое-нибудь одно число. Если катеты равны 3 и 4, то гипотенуза будет равняться 5. Если умножить эти числа на 2, то и гипотенуза умножится на 2. Например, тройка чисел 6-8-10 также будет подходить под теорему Пифагора и можно не высчитывать гипотенузу, если вы запомните такие тройки чисел.



Таким образом, найти гипотенузу по известным катетам можно 4 способами. Самым оптимальным вариантом является теорема Пифагора, но также не помешало бы запомнить и тройки чисел, которые составляют «египетский треугольник», ведь вы сможете сэкономить много времени, если вам попадутся такие значения.

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2


Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2


Похожие посты

Ученые вырастили клетки со вживленной в них электроникой

Avtor

Летающие автомобили будут полезнее для климата, чем обычные

Avtor

Как активировать сим-карту МТС самостоятельно с помощью простых команд или в салоне связи

Glavnii
Adblock
detector