Наука

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или (frac{1}{5}) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или (frac{2}{5}) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Сложение дробейРешение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби (frac{1}{5} + frac{2}{5}).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

(frac{1}{5} + frac{2}{5} = frac{1 + 2}{5} = frac{3}{5})

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

(bf frac{a}{c} + frac{b}{c} = frac{a + b}{c})

Ответ: туристы прошли (frac{3}{5}) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.


Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби (frac{3}{4}) и (frac{2}{7}).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь (frac{3}{4}) нужно умножить на 7. Вторую дробь (frac{2}{7}) нужно умножить на 4.

(frac{3}{4} + frac{2}{7} = frac{3 times color{red} {7} + 2 times color{red} {4}}{4 times color{red} {7}} = frac{21 + 8}{28} = frac{29}{28} = 1frac{1}{28})

В буквенном виде получаем такую формулу:

(bf frac{a}{b} + frac{c}{d} = frac{a times d + c times b}{b times d})

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа (3frac{6}{11}) и (1frac{3}{11}).

(3frac{6}{11} + 1frac{3}{11} = (color{red} {3} + color{blue} {frac{6}{11}}) + (color{red} {1} + color{blue} {frac{3}{11}}) = (color{red} {3} + color{red} {1}) + (color{blue} {frac{6}{11}} + color{blue} {frac{3}{11}}) = color{red}{4} + (color{blue} {frac{6 + 3}{11}}) = color{red}{4} + color{blue} {frac{9}{11}} = color{red}{4} color{blue} {frac{9}{11}})


Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел (7frac{1}{8}) и (2frac{1}{6}).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь (7frac{1}{8}) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь (2frac{1}{6}) на 4.

(7frac{1}{8} + 2frac{1}{6} = 7frac{1 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}} = 2frac{1 times color{red} {4}}{6 times color{red} {4}} =7frac{3}{24} + 2frac{4}{24} = 9frac{7}{24})

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.


Решение:

(frac{2}{7} + frac{3}{7} = frac{2 + 3}{7} = frac{5}{7})

Дробь (frac{5}{7}) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей (frac{2}{7}) и (frac{3}{7}).

(frac{2}{5} + frac{8}{9} = frac{2 times 9 + 8 times 5}{5 times 9} =frac{18 + 40}{45} = frac{58}{45})

Дробь (frac{58}{45}) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей (frac{2}{5}) и (frac{8}{9}).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) (frac{3}{11} + frac{5}{11})  б) (frac{1}{3} + frac{2}{9}).

а) (frac{3}{11} + frac{5}{11} = frac{3 + 5}{11} = frac{8}{11})

б) (frac{1}{3} + frac{2}{9} = frac{1 times color{red} {3}}{3 times color{red} {3}} + frac{2}{9} = frac{3}{9} + frac{2}{9} = frac{5}{9})

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) (1frac{9}{47})   б) (5frac{1}{3})

а) (1frac{9}{47} = 1 + frac{9}{47})

б) (5frac{1}{3} = 5 + frac{1}{3})

Пример №4:
Вычислите сумму: а) (8frac{5}{7} + 2frac{1}{7})  б) (2frac{9}{13} + frac{2}{13})  в) (7frac{2}{5} + 3frac{4}{15})

Решение:

а) (8frac{5}{7} + 2frac{1}{7} = (8 + 2) + (frac{5}{7} + frac{1}{7}) = 10 + frac{6}{7} = 10frac{6}{7})

б) (2frac{9}{13} + frac{2}{13} = 2 + (frac{9}{13} + frac{2}{13}) = 2frac{11}{13} )

в) (7frac{2}{5} + 3frac{4}{15} = 7frac{2 times 3}{5 times 3} + 3frac{4}{15} = 7frac{6}{15} + 3frac{4}{15} = (7 + 3)+(frac{6}{15} + frac{4}{15}) = 10 + frac{10}{15} = 10frac{10}{15} = 10frac{2}{3})


Задача №1:
За обедам съели (frac{8}{11}) от торта, а вечером за ужином съели (frac{3}{11}). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

(frac{8}{11} + frac{3}{11} = frac{11}{11} = 1)

Ответ: весь торт съели.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.

Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8. В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8. Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.

Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.

Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b. Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство


.

Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

  • во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
  • во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, .

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .

Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей

Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.


Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.

Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.

Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.

Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.

Профиль автора статьи в Google+

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

  • Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями


Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.

Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание — это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b — НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
  • Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 — неправильную дробь.

  • Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 — числитель и 12 — знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест


Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле «крест на крест». Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.


Похожие посты

Озоновый слой Земли полностью восстановится к 2060 году — ООН

Avtor

Происходит сдвиг магнитных полюсов: массивные стаи птиц сбиваются с намеченного пути – кадры

Avtor

На расстоянии вытянутой руки от нас: в 11 световых годах от Земли найдена планета с уникальными свойствами и п

Avtor
Adblock detector